lunes, 2 de marzo de 2015

FACTORIZACION



 FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como un producto de polinomios de inferior grado. Todo polinomio mediante la factorización puede expresarse en productos de polinomios de primer y segundo grado.

Cuando realizamos las  multiplicaciones:

1.         2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
2.         (x + 7)(x + 5) = x2  + 12x + 35

Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia por sus aplicaciones en las matemáticas.

                        -Simplificación de expresiones algebraicas.
                        -Resolución de ecuaciones e inecuaciones.
                        -Estudio del signo de un polinomio y de una fracción algebraica.
                       
Existen varios procedimientos para llevar a cabo la factorización.

1. FACTOR COMUN:

Factor común:  es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N° 1: ¿ cuál es el factor común en   12x + 18y - 24z ?

            Entre los coeficientes es el 6, o sea,  6·2x + 6·3y - 6· 4z  =  6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común en :  5a2 - 15ab  - 10 ac
            El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a,  por lo tanto
            5a2 - 15ab  - 10 ac  =  5a·a - 5a·3b - 5a · 2c =  5a(a - 3b - 2c )

Ejemplo N° 3 : ¿ Cuál es el factor común en   6x2y - 30xy2 + 12x2y2
            El factor común es   “ 6xy “  porque
            6x2y - 30xy2 + 12x2y2  = 6xy(x - 5y + 2xy )

Realiza tú los siguientes ejercicios:

EJERCICIOS.    Halla el factor común de los siguientes ejercicios:

  1.   6x - 12 =       
  1.   4x - 8y =
  1.   24a - 12ab =  
  1.   10x - 15x2 =
  1.   14m2n + 7mn =                      
  1.   4m2 -20 am =
  1.   8a3 - 6a2 =
  1.   ax + bx + cx =
  1.   b4-b3 =          
  1.   4a3bx - 4bx =
  1.   14a - 21b + 35 =                               
  1.    3ab + 6ac - 9ad =
  1.    20x - 12xy + 4xz =    
  1.    6x4 - 30x3 + 2x2 =
  1.   10x2y - 15xy2 + 25xy =           
  1.   12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
  1.     2x2 + 6x + 8x3 - 12x4  =         
  1.    10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
  1.    m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
  1.   
  1.   
  1.  


2.  FACTOR COMUN POLINOMIO:

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión:

EJEMPLO N° 1.  
Factoriza                                                        x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es  (a + b )        =  x(a + b ) + y( a + b ) =
                                                                           =  ( a + b )( x + y )

EJEMPLO N° 2.  
Factoriza                                                         2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
                                                                             = 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
                                                                             =  (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS

  1.    a(x +  1) + b ( x + 1 ) =         
  1.    m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
  1.    x2( p + q ) + y2( p + q ) =      
  1.    ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
  1.    ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
  1.     a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
  1.    (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =   
  1.    (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
  1.     (a( a + b ) - b ( a + b ) =       
  1.    (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

3.  FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO

Se trata de  extraer un  doble factor común.

 EJEMPLO N°1.  
           Factoriza      ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
                                   p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
                                   ( a + b ) ( p + q )

EJERCICIOS:           
  1.    a2 + ab + ax + bx =  
  1.    ab + 3a + 2b + 6 =
  1.    ab - 2a - 5b + 10 =    
  1.    2ab + 2a - b - 1 =
  1.    am - bm + an - bn =  
  1.    3x3 - 9ax2 - x + 3a =
  1.    3x2 - 3bx + xy - by =             
  1.    6ab + 4a - 15b - 10 =
  1.    3a - b2 + 2b2x - 6ax =            
  1.    a3 + a2 + a + 1 =
  1.    ac - a - bc + b + c2  - c =

  1.    6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
  1.    ax - ay - bx + by - cx + cy =
  1.    3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
  1.    18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
  1.   
  1.   


4.  FACTORIZACION DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO. ax2+ bx + c

Se realiza resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente. Si las soluciones son A y B puede escribirse   ax2+ bx + c = a (x-A). (x-B)


ACTIVIDAD: Factorizar:
  1.    x2 + 4x + 3 =            
  1.    a2 + 7a + 10 =
  1.    b2 + 8b + 15 =
  1.    x2 - x - 2 =
  1.    r2 - 12r + 27 =
  1.    s2 - 14s + 33 =
  1.     h2 - 27h + 50 =                    
  1.    y2 - 3y - 4 =
  1.    x2 + 14xy + 24y2 =    
  1.    m2 + 19m + 48 =
  1.    x2 + 5x + 4 =
  1.    x2 - 12x + 35 =

EJERCICIOS:

  1.    5x2 + 11x + 2 =
  1.    3a2 + 10ab + 7b2 =
  1.    4x2 + 7x + 3 =
  1.    4h2 + 5h + 1 =
  1.    5 + 7b + 2b2 =                      
  1.    7x2 - 15x + 2 =
  1.    5c2 + 11cd + 2d2 =
  1.    2x2 + 5x - 12 =
  1.    6x2 + 7x - 5 =
  1.    6a2 + 23ab - 4b2 =
  1.    3m2 - 7m - 20 =                                
  1.    8x2 - 14x + 3 =
  1.    5x2 + 3xy - 2y2 =
  1.    7p2 + 13p - 2 =
  1.    6a2 - 5a - 21 =                      
  1.    2x2 - 17xy + 15y2 =
  1.    2a2 - 13a + 15 =




5. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
 
EJEMPLO:   

 Factorizar                 9x2 - 16y2 =

Para el primer término  9x2  se factoriza en     3x · 3x
y el segundo término   - 16y2 se factoriza en     +4y · -4y
luego la factorización de    9x2  - 16y2  = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )

EJERCICIOS:

  1.    9a2 - 25b2 =
  1.    16x2 - 100 =
  1.    4x2 - 1 =       
  1.    9p2 - 40q2 =
  1.    36m2n2 - 25 =
  1.    49x2 - 64t2 =
  1.    169m2 - 196 n2 =       
  1.    121 x2 - 144 k2 =
  1.   
  1.   
  1.    3x2 - 12 =                 
  1.    5 - 180f2 =
  1.    8y2 - 18 =                             
  1.    3x2 - 75y2 =
  1.    45m3n - 20mn =                    
  1.    2a5 - 162 a3 =

6.  FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
 
Ejemplo:

Factorizar     9x2 - 30x + 25 =

1°  Halla la raíz principal del primer término 9x2 :      3x · 3x
2°  Halla la raíz principal  del tercer  término 25
      con el signo del segundo término                            -5 · -5
luego  la factorización  de  9x2 - 30x + 25  =  (3x - 5 )( 3x - 5 )  = ( 3x - 5 )2

EJERCICIOS:

  1.    b2 - 12b + 36 =
  1.    25x2 + 70xy + 49y2 =
  1.    m2 - 2m + 1 =                       
  1.    x2 + 10x + 25 =
  1. 16m2 - 40mn + 25n2 =   
  1. 49x2 - 14x + 1 =
  1. 36x2 - 84xy + 49y2 =     
  1. 4a2 + 4a + 1 =
  1. 1 + 6ª + 9a2 =              
  1. 25m2 - 70 mn + 49n2 =
  1. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 
  1. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =
  1. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =


EJERCICIOS DIVERSOS:

  1.  2ab + 4a2b - 6ab2 =     
  1. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
  1. b2 - 3b - 28 =               
  1. a2 + 6a + 8 =
  1. 5a + 25ab =                 
  1. bx - ab + x2 - ax =
  1. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 
  1. ax + ay + x + y =
  1. 8x2 - 128 =                              
  1. 4 - 12y + 9y2 =
  1. x4 - y2 =                                   
  1. x2 + 2x + 1 - y2 =
  1. (a + b )2 - ( c + d)2 =     
  1. a2 + 12ab + 36b2 =
  1. 36m2 - 12mn + n2 =                  
  1. x16 - y16  =
7.- FACTORIZACIÓN  AVANZADA.

a)  DIFERENCIA DE CUBOS :     a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)


Ejemplo :     8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2)


b)  SUMA DE CUBOS:               a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ejemplo:     27a3  + 1 =  (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)

125.          64 – x3 =
126.          8a3b3  + 27 =
127.          27m3 + 6n6 =                  
128.          x6 – y6 =
129.           =                   
130.          =

8.- FACTORIZACIÓN USANDO LA REGLA DE RUFFINI.

Usando el método de Ruffini explicado en clase para hacer la división de un polinomio cualquiera por otro de primer grado del tipo (x-A) , puede lograrse hacer la factorización en el caso de encontrar valores para A que hagan la división exacta.



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