lunes, 2 de marzo de 2015

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FACTORIZACION



 FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como un producto de polinomios de inferior grado. Todo polinomio mediante la factorización puede expresarse en productos de polinomios de primer y segundo grado.

Cuando realizamos las  multiplicaciones:

1.         2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
2.         (x + 7)(x + 5) = x2  + 12x + 35

Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia por sus aplicaciones en las matemáticas.

                        -Simplificación de expresiones algebraicas.
                        -Resolución de ecuaciones e inecuaciones.
                        -Estudio del signo de un polinomio y de una fracción algebraica.
                       
Existen varios procedimientos para llevar a cabo la factorización.

1. FACTOR COMUN:

Factor común:  es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N° 1: ¿ cuál es el factor común en   12x + 18y - 24z ?

            Entre los coeficientes es el 6, o sea,  6·2x + 6·3y - 6· 4z  =  6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común en :  5a2 - 15ab  - 10 ac
            El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a,  por lo tanto
            5a2 - 15ab  - 10 ac  =  5a·a - 5a·3b - 5a · 2c =  5a(a - 3b - 2c )

Ejemplo N° 3 : ¿ Cuál es el factor común en   6x2y - 30xy2 + 12x2y2
            El factor común es   “ 6xy “  porque
            6x2y - 30xy2 + 12x2y2  = 6xy(x - 5y + 2xy )

Realiza tú los siguientes ejercicios:

EJERCICIOS.    Halla el factor común de los siguientes ejercicios:

  1.   6x - 12 =       
  1.   4x - 8y =
  1.   24a - 12ab =  
  1.   10x - 15x2 =
  1.   14m2n + 7mn =                      
  1.   4m2 -20 am =
  1.   8a3 - 6a2 =
  1.   ax + bx + cx =
  1.   b4-b3 =          
  1.   4a3bx - 4bx =
  1.   14a - 21b + 35 =                               
  1.    3ab + 6ac - 9ad =
  1.    20x - 12xy + 4xz =    
  1.    6x4 - 30x3 + 2x2 =
  1.   10x2y - 15xy2 + 25xy =           
  1.   12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
  1.     2x2 + 6x + 8x3 - 12x4  =         
  1.    10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
  1.    m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
  1.   
  1.   
  1.  


2.  FACTOR COMUN POLINOMIO:

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión:

EJEMPLO N° 1.  
Factoriza                                                        x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es  (a + b )        =  x(a + b ) + y( a + b ) =
                                                                           =  ( a + b )( x + y )

EJEMPLO N° 2.  
Factoriza                                                         2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
                                                                             = 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
                                                                             =  (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS

  1.    a(x +  1) + b ( x + 1 ) =         
  1.    m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
  1.    x2( p + q ) + y2( p + q ) =      
  1.    ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
  1.    ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
  1.     a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
  1.    (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =   
  1.    (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
  1.     (a( a + b ) - b ( a + b ) =       
  1.    (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

3.  FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO

Se trata de  extraer un  doble factor común.

 EJEMPLO N°1.  
           Factoriza      ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
                                   p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
                                   ( a + b ) ( p + q )

EJERCICIOS:           
  1.    a2 + ab + ax + bx =  
  1.    ab + 3a + 2b + 6 =
  1.    ab - 2a - 5b + 10 =    
  1.    2ab + 2a - b - 1 =
  1.    am - bm + an - bn =  
  1.    3x3 - 9ax2 - x + 3a =
  1.    3x2 - 3bx + xy - by =             
  1.    6ab + 4a - 15b - 10 =
  1.    3a - b2 + 2b2x - 6ax =            
  1.    a3 + a2 + a + 1 =
  1.    ac - a - bc + b + c2  - c =

  1.    6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
  1.    ax - ay - bx + by - cx + cy =
  1.    3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
  1.    18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
  1.   
  1.   


4.  FACTORIZACION DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO. ax2+ bx + c

Se realiza resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente. Si las soluciones son A y B puede escribirse   ax2+ bx + c = a (x-A). (x-B)


ACTIVIDAD: Factorizar:
  1.    x2 + 4x + 3 =            
  1.    a2 + 7a + 10 =
  1.    b2 + 8b + 15 =
  1.    x2 - x - 2 =
  1.    r2 - 12r + 27 =
  1.    s2 - 14s + 33 =
  1.     h2 - 27h + 50 =                    
  1.    y2 - 3y - 4 =
  1.    x2 + 14xy + 24y2 =    
  1.    m2 + 19m + 48 =
  1.    x2 + 5x + 4 =
  1.    x2 - 12x + 35 =

EJERCICIOS:

  1.    5x2 + 11x + 2 =
  1.    3a2 + 10ab + 7b2 =
  1.    4x2 + 7x + 3 =
  1.    4h2 + 5h + 1 =
  1.    5 + 7b + 2b2 =                      
  1.    7x2 - 15x + 2 =
  1.    5c2 + 11cd + 2d2 =
  1.    2x2 + 5x - 12 =
  1.    6x2 + 7x - 5 =
  1.    6a2 + 23ab - 4b2 =
  1.    3m2 - 7m - 20 =                                
  1.    8x2 - 14x + 3 =
  1.    5x2 + 3xy - 2y2 =
  1.    7p2 + 13p - 2 =
  1.    6a2 - 5a - 21 =                      
  1.    2x2 - 17xy + 15y2 =
  1.    2a2 - 13a + 15 =




5. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
 
EJEMPLO:   

 Factorizar                 9x2 - 16y2 =

Para el primer término  9x2  se factoriza en     3x · 3x
y el segundo término   - 16y2 se factoriza en     +4y · -4y
luego la factorización de    9x2  - 16y2  = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )

EJERCICIOS:

  1.    9a2 - 25b2 =
  1.    16x2 - 100 =
  1.    4x2 - 1 =       
  1.    9p2 - 40q2 =
  1.    36m2n2 - 25 =
  1.    49x2 - 64t2 =
  1.    169m2 - 196 n2 =       
  1.    121 x2 - 144 k2 =
  1.   
  1.   
  1.    3x2 - 12 =                 
  1.    5 - 180f2 =
  1.    8y2 - 18 =                             
  1.    3x2 - 75y2 =
  1.    45m3n - 20mn =                    
  1.    2a5 - 162 a3 =

6.  FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
 
Ejemplo:

Factorizar     9x2 - 30x + 25 =

1°  Halla la raíz principal del primer término 9x2 :      3x · 3x
2°  Halla la raíz principal  del tercer  término 25
      con el signo del segundo término                            -5 · -5
luego  la factorización  de  9x2 - 30x + 25  =  (3x - 5 )( 3x - 5 )  = ( 3x - 5 )2

EJERCICIOS:

  1.    b2 - 12b + 36 =
  1.    25x2 + 70xy + 49y2 =
  1.    m2 - 2m + 1 =                       
  1.    x2 + 10x + 25 =
  1. 16m2 - 40mn + 25n2 =   
  1. 49x2 - 14x + 1 =
  1. 36x2 - 84xy + 49y2 =     
  1. 4a2 + 4a + 1 =
  1. 1 + 6ª + 9a2 =              
  1. 25m2 - 70 mn + 49n2 =
  1. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 
  1. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =
  1. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =


EJERCICIOS DIVERSOS:

  1.  2ab + 4a2b - 6ab2 =     
  1. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
  1. b2 - 3b - 28 =               
  1. a2 + 6a + 8 =
  1. 5a + 25ab =                 
  1. bx - ab + x2 - ax =
  1. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 
  1. ax + ay + x + y =
  1. 8x2 - 128 =                              
  1. 4 - 12y + 9y2 =
  1. x4 - y2 =                                   
  1. x2 + 2x + 1 - y2 =
  1. (a + b )2 - ( c + d)2 =     
  1. a2 + 12ab + 36b2 =
  1. 36m2 - 12mn + n2 =                  
  1. x16 - y16  =
7.- FACTORIZACIÓN  AVANZADA.

a)  DIFERENCIA DE CUBOS :     a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)


Ejemplo :     8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2)


b)  SUMA DE CUBOS:               a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ejemplo:     27a3  + 1 =  (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)

125.          64 – x3 =
126.          8a3b3  + 27 =
127.          27m3 + 6n6 =                  
128.          x6 – y6 =
129.           =                   
130.          =

8.- FACTORIZACIÓN USANDO LA REGLA DE RUFFINI.

Usando el método de Ruffini explicado en clase para hacer la división de un polinomio cualquiera por otro de primer grado del tipo (x-A) , puede lograrse hacer la factorización en el caso de encontrar valores para A que hagan la división exacta.



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